Mae goleuo ein cegin yn Sychnant yn broblem barhaus imi. Lle bynnag y gosodaf y lampau mae rhyw gornel neu’i gilydd yn y cysgod. Tynnwyd fy sylw yn syth, felly, gan adroddiad am fathemategydd o Brifysgol Chicago yn ennill gwobr o $3 miliwn am brofi bod modd goleuo unrhyw ystafell yn llwyr trwy ddefnyddio un gannwyll ! Wel, dim cweit pob ystafell, felly gwell imi esbonio ei gamp. I ddechrau rhaid i bob wal (a nenfwd a llawr, os ydych am feddwl mewn tri dimensiwn) fod yn ddrych fflat perffaith. Gall fod faint a fynnoch o ddrychau, a phob math o gilfachau – dychmygwch balas Elsa o’r ffilm Frozen. Ond, fel ym mhob hanes felly, mae un amod. Mae’n rhaid i’r onglau rhwng y drychau fod yn rhifau cymarebol. (Nid yw hyn yn fawr o gyfyngiad. Rhif felly yw un lle gellir ei fynegi fel cymhareb (ratio) o ddau rif cyfan. Mae 3/2, 1/16, 9787/577 i gyd yn enghreifftiau – ond nid yw √2 neu π.) Wrth gwrs, os nad oes cilfachau, mae’r gannwyll i’w gweld o bob rhan o’r ystafell – ond ers y pumdegau ‘roedd mathemategwyr wedi holi a fyddai llecynnau mewn cilfachau yn aros yn dywyll. Ffordd arall o ddychmygu’r un cwestiwn yw gofyn a fyddai modd taro pêl biliards i bob rhan o ford anghyffredin ar ffurf drysfa (heb golli dim cyflymder ar bob adlam o’r cwsh).
Yn rhifyn Nadolig 1958 cylchgrawn newydd sbon, New Scientist, roedd Roger Penrose, un o fathemategydd-ffisegwyr mwya’n hoes wedi cynllunio “ystafell” ddychmygol, ag iddi ddrychau ar ffurf elips yn ogystal â rhai fflat, lle ‘roedd modd profi y byddai rhannau ohoni yn dywyll lle bynnag y gosodwyd y gannwyll. Yna yn 1995 cynlluniodd George Tokarsky, Prifysgol Alberta, ystafell â drychau fflat (polygon) lle nad oedd modd cyrraedd un pwynt o un pwynt arbennig arall. (Mewn mathemateg nid oes hyd na lled i bwynt, dim ond lleoliad. Ni ellir ei alw’n rhanbarth.) Taniwyd dychymyg Alex Eskin, yn wreiddiol o Foscow, gan y sialens i ddarogan ymddygiad pob siâp polygon posibl. Cydweithiodd ar hyn â Maryam Mirzakhani, Athro ym Mhrifysgol Stanford ac yn wreiddiol o Tehran. (Gwraig ryfeddol oedd Mirzakhani. Yn 2014 enillodd Fedal Fields am waith annibynnol; yr unig ferch i ennill prif wobr mathemateg y byd. Bu farw yn 2017, o gancr y fron, yn 40 oed.) Yn 2013 cyhoeddodd y ddau eu datrysiad o’r “Theori’r Hudlath”, fel y’i gelwir, ffrwyth blynyddoedd o waith caled. I nifer o’r “ystafelloedd” mae ambell bwynt tywyll, megis un Torkasky, ond nid oes yr un â rhanbarth mwy na hyn, beth bynnag ei siâp. Y papur yma sydd wedi arwain at y Wobr Breakthrough mewn mathemateg, un o gyfres o wobrau Breakthrough a roddir gan grŵp o biliwnyddion sy’n cynnwys Anne Wojcicki, sylfaenydd y cwmni 23andMe, y cwmni profi DNA masnachol. Mewn erthygl yn y cylchgrawn Gazette des mathématiciens yn 2014, mae Anton Zorich o Baris, yn cymharu’r gwaith i ddarganfyddiad rhannol y calcwlws gan Johannes Kepler, y seryddwr o Wlad Pwyl, tua chanrif cyn Newton a Leibniz. Roedd Kepler yn ceisio dyfeisio hafaliad i fesur maint casgenni gwin – heb syniad yn y byd am y defnydd anhepgor o’r dechneg ym mhob rhan o beirianneg a thu hwnt erbyn heddiw.
Defnyddiodd Eskin a Mirzakhan ymroddiad ac ymdrech galed dros gyfnod hir i ddod i’w canlyniad – fel y gwna y rhan fwyaf o fathemategwyr. Ond ffordd bur wahanol oedd gan y mathemategydd o India, Srinivasa Ramanujan, a anfarwolwyd yn ddiweddar yn y llyfr a’r ffilm (yn 2015) The Man Who Knew Infinity. Yn y ffilm gwelwn yr arwr yn dod o hyd i ddatrysiadau mathemategol cymhleth mewn breuddwydion. Credodd eu bod yn rhoddion y Duwiau – a duwies y teulu yn arbennig. Pan aeth Ramanujan i fyd confensiynol Prifysgol Caergrawnt fe’i gwatwarwyd am ei anallu i esbonio ei ddamcaniaethau yn ôl rheolau’r oes. Halen ar friw nifer o’r Sefydliad oedd bod Ramanujan, yn ddiarwybod iddo, wedi datrys yn y modd hwn nifer o bethau a oedd eisioes yn hysbys ond a oedd wedi cymryd blynyddoedd i’r mathemategwyr “gwyn” eu datrys. Yn ffodus roedd ganddo fentor yno, y mathemategydd Godfrey Hardy, ac yn y pen draw cydnabuwyd ei fawredd; yn bennaf, yn anffodus, ar ôl ei farwolaeth annhymig yn 32 oed. Dros y blynyddoedd bu cryn ddyfalu am dechnegau anghonfensiynol y mathemategydd o India. Ym mis Mehefin ar y wefan arχiv.org, lansiodd Gal Raayoni a grŵp o fathemategwyr o Athrofa Technoleg Israel wefan o’r enw “The Ramanujan Machine” sy’n galluogi’r defnyddiwr i fanteisio ar un o’r technegau – cyfres “diddiwedd” o gamau rhannu yn defnyddio rhifau cymarebol. Y disgwyl yw y bydd modd i eraill ddod o hyd i ddarganfyddiadau newydd sbon trwy ei defnyddio, ar ben y 3,900 gosodiad a wnaeth Ramanujan yn ystod ei fywyd.
Yn ei gwsg y daeth yr datguddiadau i Ramanujan. I’r rhan fwyaf ohonom cyfle i ddianc rhag gofynion bywyd yw’r cyfnod hwnnw ac mae cyngor diweddar (er enghraifft gwefan y GIG) yn pwysleisio’r angen am ryw 8 awr y noson. Ond eto mae hanesion am unigolion yn llwyddo i fyw yn iach ar lawer llai na hyn. Yn aml crybwyllir enw Margaret Thatcher yn y cyd-destun hwn. Ymddengys fod Ying-Hui Fu a’i chydweithwyr ym Mhrifysgol California, San Fransisco, wedi darganfod un esboniad a cyhoeddwyd eu canlyniadau yn y cylchgrawn Neuron ar ddiwedd Awst eleni. Trwy astudio teulu o 12 sy’n medru gwneud heb fwy na 4.5 awr o gwsg pob nos heb ddioddef unrhyw effaith ar eu hiechyd na’u hwyliau, darganfuwyd ynddynt fwtaniad mewn genyn o bwys i’r ymennydd. Aeth y tîm ati i greu’r un mwtaniad mewn llygod. Mae’r llygod yma’n cysgu 55 munud yn llai pob dydd na llygod cyffredin. Roedd modd i Fu a’i thîm ddadansoddi swyddogaeth newydd niwronau sy’n rheoli hyd cwsg yn yr anifeiliaid. Y dybiaeth yw mai’r un drefn sydd yn bodoli yn ymennydd pobl. Prosesau tebyg yw’r rhain i’r rhai a effeithir gan beta blockers, cyffuriau a ddefnyddir yn helaeth i drin anhwylderau’r galon, ond sydd hefyd ag effeithiau seicolegol. Y gobaith yw y bydd hyn yn arwain at well triniaeth ar gyfer anhwylderau sy’n gysylltiedig â cholli cwsg.
Erys cwsg yn ddirgelwch. Gobeithio y bydd canlyniadau o’r math yma, megis cannwyll, yn taflu goleuni ar gilfachau tywyll ein hymddygiad. Amser a ddengys a oes rhannau na ellir byth eu goleuo.
Pynciau: Theori’r Hudlath, Meddwl Ramanujan, Cwsg
Cyfeiriadau
Theori’r Hudlath
Anton Zorich (2014) The Magic Wand Theorem of A. Eskin and M. Mirzakhani. (cyfieithiad) Gazette des mathématiciens, 142, 39–54.
Paul Castle (2017) Unilluminable rooms, billiards with hidden sets and Bunimovich mushrooms. Proceedings of the American Mathematical Society. https://arxiv.org/abs/1703.02268
Meddwl Ramanujan
Gal Raayoni, George Pisha, Yahel Manor, Uri Mendlovic, Doron Haviv, Yaron Hadad, Ido Kaminer (2019) The Ramanujan Machine: Automatically Generated Conjectures on Fundamental Constants. https://arxiv.org/abs/1907.00205
Cwsg
Guangsen Shi, Lijuan Xing, David Wu, Bula J. Bhattacharyya, Christopher R. Jones, Thomas McMahon, S.Y. Christin Chong, Jason A. Chen, Giovanni Coppola, Daniel Geschwind, Andrew Krystal, Louis J. Ptáček, Ying-Hui Fu (2019) A Rare Mutation of β1-Adrenergic Receptor Affects Sleep/Wake Behaviors. Neuron 103, (6) 1044-1055
Deri Tomos 